Guía de ejercitación de traslación y rotación de ejes.

Solo realiza los ejercicios de traslación de ejes. Esto te servirá para preparar la evaluación del próximo martes 16 de agosto.

COLEGIO SAN IGNACIO DE LOYOLA

PERIODO III

Nombre:		Grado: 11°____
Área:	Matemáticas	Fecha: agosto 8 de 2011
Asignatura:	Geometría.	Tipo de Guía: Conceptual y de Ejercitación.
Profesor :	Carlos A. Puerta B.	Tiempo de Duración: 2 Unidades

Indicadores de Desempeño:

• Interpreta los resultados literales y gráficos de problemas geométricos que involucran cónicas.

• Deduce datos y procedimientos válidos para explicar los resultados en problemas de transformación de coordenadas.

• Propone procedimientos alternativos de solución a problemas de cónicas y transformación de coordenadas, verificando su validez.

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS                                                                            

LA TRASLACIÓN

En esta unidad comienza a explorarse el primer procedimiento que rige la transformación de coordenadas, el cual se abordará en este curso utilizando como figuras básicas las cónicas  construidas conceptualmente durante el primer semestre, estas son: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. En geometría analítica, al igual que en física, es muy importante elegir un sistema de coordenadas, o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea el más rápido posible, esto es lo que permitirá la traslación y luego la rotación. Debes tener claro que la construcción conceptual de la traslación asume los pasos que a continuación se describen, e igualmente que se requiere tener muy clara la forma como se almacenan las fórmulas que se van construyendo, alternándolas con sus respectivas gráficas para evitar confusiones.

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O^´(h, k), ver figura , y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de las traslación son (x, y) y (x^´, y^´ ), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema son:                                                       x = x^´ +h;  y = y^´ +k.

DEMOSTRACIÓN:

Según la figura:  AP=x, EP=y

Que son las coordenadas originales del punto P(x, y)

Así mismo, tenemos:BP=x’  y DP=y’

Que son las nuevas coordenadas del punto P´(x´, y´).

De la figura también  se deduce:

AP=AB+BP=h+x’  y  EP=ED+DP=k+y’    

Luego sustituyendo tenemos las ecuaciones de traslación: 

                        x=x’+h     y      y=y’+k   

ACTIVIDADES

 Realizo los siguientes ejercicios básicos:

1. Transformo la ecuación dada trasladando los ejes coordenados al nuevo origen indicado:
1. X²+ y²- 2x - 6y +6=0;  (1,3)
2. 4x²-y²-8x-10y-25 =0;  (1, -5)
3. 3x²+2y²+12x-4y+8=0; (-2, 1)

2. Transformo la ecuación dada en otra que carezca de términos de primer grado:

1. 2x²+ y²+16x - 4y +32=0
2. 3x²+2y²+18x-8y+29=0
3. 8x³+24x²-4y²+24x-12y-1=0
4.  X² +5y² +2x-20y+25=0
5.  2x²+ 5y²-28x + 20y + 108=0
6. 12x²-18y²-12x - 12y - 5=0
7. 4x²+4y²+32x-4y+45=0 
8. X² -4y² -6x-8y-10=0                                            
9.  9x²+24xy+16y²+80x=60y
10. 3x²-4xy-4y²+16x+16y-12=0
11. X²-2xy+ y²-x = 0

                                      

 LA ROTACIÓN

Si los ejes coordenados giran un ángulo α en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x’, y’), respectivamente, las ecuaciones  del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por: x= x’ Cosα  - y’ Senα  y  y = x’ Senα  + y’ Cosα. Esta transformación nos permitirá anular de la ecuación general dada el termino xy. La demostración de estas ecuaciones las mostraré a continuación.

 

En el ΔOAP:

x=rcos(α+θ)=rcosα cosθ-rsenα senθ.  (1)

y=rsen(α+θ)=rsenα cosθ+rsenθ cosα. (2)

En el ΔOA´P:

x´=rcosα    e     y´=rsenα.

Si sustituimos estas dos últimas ecuaciones en 1 y 2

entonces obtenemos las ecuaciones de rotación

x=x´cosθ-y´senθ  e    y=x´senθ+y´cosθ.

ACTIVIDADES

I. Realizo los siguientes ejercicios básicos:

1. Hallar la transformada de las ecuaciones dadas, al girar los ejes coordenados un ángulo igual al indicado:
1. x²-2xy+ y²-x = 0; 45°
2. 9x²+24xy+16y²+80x=60y
3. 3x²-4xy-4y²+16x+16y-12=0
4. 11x²+24xy+ 4y²-20=0; arc tan 0.75.
5. Por una rotación de los ejes coordenados, transformo la ecuación 2x-y-2=0 en otra que carezca del término x’.

2. Por una rotación de los ejes coordenados, transformo la ecuación dada en otra que carezca de términos x’y’:
1. 9x²+3xy+ 9y²=5
2. X²-2xy +y²-4=0
3. 5x²+4xy+ 2y²=2
4. 7x² -6√3 xy+13y² =16                             

II. Realizo el siguiente ejercicio en el que debo trasladar y rotar. Deben aparecer ambos sistemas coordenados y el tipo de la curva o lugar geométrico.

Por medio de una rotación de ejes de valor  θ=tan^-1(4/3) simplifico la ecuación:                          9x²+24xy+16y²+80x=60y

Debemos evaluarnos constantemente… porque cada día podemos ser mejores